Lic. Karel Pérez Ariza, Profesor Instructor, Universidad “Ignacio Agramonte Loynaz”. Camagüey.
Correo electrónico: karel.perez@reduc.edu.cu

Dr.  C. José Emilio Hernández Sánchez, Profesor Titular, Universidad “Ignacio Agramonte Loynaz”. Camagüey.
Correo electrónico: jose.emilio@reduc.edu.cu

Lic. Maurén Álvarez Pérez, Profesor Instructor, Universidad “Ignacio Agramonte Loynaz”. Camagüey.
Correo electrónico: mauren.alvarez@reduc.edu.cu

Introducción

Los estudios realizados en las últimas décadas han redimensionado el papel de la comprensión en el proceso de enseñanza – aprendizaje. Ello justifica que los mismos se hayan extendido hasta áreas tan específicas como la solución de problemas matemáticos. No obstante en la práctica educativa se aprecia un insuficiente nivel de comprensión en el desempeño de los escolares.

Las ideas expuestas en el párrafo anterior sustentan la importancia que se le concede a la comprensión textual en la solución de problemas. El referido tema debe ser abordado por investigaciones dirigidas a la didáctica de la solución de problemas, especialmente los aritméticos por ocupar dichos contenidos el mayor tiempo dentro de los programas escolares de Matemática en la enseñanza primaria. Consecuentemente con lo abordado en el trabajo se persigue el objetivo de ofrecer procedimientos didácticos para favorecer el desarrollo de la comprensión de problemas aritméticos verbales en la enseñanza primaria. 

Desarrollo

Las investigaciones en torno al tratamiento de la comprensión en la solución de problemas matemáticos, a juicio de los autores del artículo, se adscriben a dos tendencias fundamentales:

- La comprensión como etapa o fase previa a la solución de problemas matemáticos.

- La solución de problemas matemáticos como proceso de comprensión textual.

En la primera tendencia se encuentran los estudios realizados por autores como: Polya, G., Jungk, W., Müller, H. Ellos abordan la comprensión como una etapa (fase) de la solución de problemas matemáticos, lo que queda evidenciado en los modelos que proponen para la citada actividad.  La segunda tendencia es defendida por los siguientes autores: Marrero, O., García, E.,. Pérez, K.  y. Pérez, K. y. Hernández, J. E.  

La solución de problemas es uno de los aspectos más estudiados por especialistas de Didáctica de la Matemática. En investigaciones realizadas por los autores: Ruiz, G., Labarrere, A., Campistrou, L. y. Rizo, C., Chío, J. se reconoce la importancia que tiene la comprensión en la resolución de problemas, sin embargo existe un escaso estudio sobre:

Las relaciones entre los conceptos: problema, texto, comprensión textual y solución de problemas.

Las características de los textos que contienen problemas aritméticos.

Autores como Domínguez y Maza, han asumido la comprensión como eje central de la solución de problemas matemáticos. Además Quiroga, P. y Chancasanampa,  G. a partir de investigaciones experimentales revelan que los escolares que presentan dificultades en la comprensión textual son los que mayores deficiencias presentan en la solución de problemas matemáticos. Por su parte García, E.,  Rodríguez, J. y Abad, G. contextualizan los pasos metodológicos de la lectura y los niveles de comprensión al proceso de solución de problemas. La doctora Frade, L.  plantea una estrategia para la comprensión de problemas matemáticos a partir de tener en cuenta la decodificación y los análisis: léxicos, sintácticos y semánticos; además de la elaboración de inferencias como las fases (etapas) de la  comprensión de los problemas matemáticos.

Las diversas definiciones del concepto de problema matemático hacen referencia a uno o varios de los elementos siguientes:

Subjetividad: el resolutor debe desconocer la vía de solución e interesarse por hallarla: Campistrous, L. y Rizo, C.,  Llivina, M.

Presencia de relaciones matemáticas: en la solución se requiere del empleo de medios matemáticos: Labarrere, A., Ballester, S. et al .

Existencia como texto: uso del lenguaje verbal para formularlos: Labarrere, A.., Rubinstein, S.L.

Todo problema matemático surge de la necesidad de formular verbalmente una situación problémica identificada, lo cual está condicionado por la imposibilidad de pensar sin mediación del lenguaje. Esto a su vez determina el surgimiento del problema como formulación verbal y por ende su existencia como texto. Esto conlleva a la conceptualización general del problema como enunciado que surge de la necesidad de expresar verbalmente las situaciones problémicas debido a la imposibilidad de solucionarlas prescindiendo del lenguaje.

Teniendo en cuenta los criterios expuestos anteriormente el problema aritmético es definido por los autores del artículo como aquel enunciado que describe una situación desconocida y de interés para un sujeto en cuya solución se necesitan emplear conocimientos sobre numeración y las operaciones básicas de cálculo.

Si según Sales L. una concepción amplia del concepto texto considera a todo lo que puede ser leído, es decir, comprendido entonces se considera que cualquier problema matemático es un texto porque todos poseen una determinada intención, portan significados y exigen de una comprensión por parte del alumno que lo resolverá. El concepto texto es mucho más amplio que el de problema matemático, por lo que el autor considera una tautología referirse a problemas matemáticos con textos, pues los primeros son representantes del concepto de texto. ¿Puede existir un problema matemático aislado de un texto? Si se tiene en cuenta que los problemas matemáticos como parte del contenido de la enseñanza de la Matemática, la cual es una ciencia, son portadores de cultura y que los textos como unidades básicas de la comunicación permiten la conservación, transmisión y re-creación de la cultura se concluye que el concepto de texto abarca a los problemas matemáticos, pues a través de estos últimos se propaga la cultura.

Lo abordado hasta el momento permite preguntar: ¿es la comprensión textual una etapa de la resolución de problemas matemáticos o abarca todo el proceso? Si se considera que todo problema matemático al igual que cualquier texto existe por la unidad entre los procesos producción – comprensión y que el primero posibilita el surgimiento de los problemas; entonces estos últimos se resuelven como un proceso de comprensión textual.

Al asumir el modelo interactivo, el cual es defendido por todos los especialistas citados, se reconoce el papel activo del sujeto en el proceso lector, por lo que se hace necesario que el lector posea las herramientas necesarias para apropiarse del contenido de lo que se lee. Si se parte de considerar la lectura como un proceso activo y creador, se reconoce que lo más importante en dicho proceso no es la decodificación sino la elaboración de nuevos significados a partir de la información del texto. Teniendo en cuenta esto y las características que poseen los problemas matemáticos como textos, se deduce que es necesario prestarle primordial interés a las inferencias, por constituir estas el resultado del adecuado empleo de importantes estrategias de producción de significados.

Teniendo en cuenta que la comprensión de los textos mencionados se realiza con el objetivo de encontrar la solución de los mismos y realizar una valoración de la información del texto (dimensión ambiental, efemérides, trabajo político – ideológico, entre otros temas) se asume la comprensión de un problema aritmético como la actividad dirigida a identificar las relaciones que se establecen en un texto con el objetivo de encontrar la vía de solución y hacer una valoración integral de la información del texto.

En la comprensión de problemas aritméticos se realiza una cadena de inferencias deductivas, ya que se parte del dominio de los significados prácticos (conclusión de mayor grado de generalidad) y se identifican las relaciones que se dan en el problema (significados prácticos).

El proceso lector se basa esencialmente en el descubrimiento de la información implícita, pues lo más importante no es lo que quiso decir el autor en el texto sino lo que significa para el lector el contenido del mismo. En la búsqueda de información implícita juega un papel importante las inferencias, ya que permiten descubrir la información implícita que se encuentra en un texto a partir de conocimientos ya establecidos, es decir, que ya posee el sujeto o le es dado explícitamente en el texto que lee.

Las inferencias  son concebidas también de disímiles formas, pues ello ha dependido de las disciplinas que se han encargado de su estudio; ya que las mismas han enfocado el análisis desde diversas aristas. En la Lógica, la Piscología y la Didáctica han sido conceptualizadas indistintamente como procesos, actividades, operaciones y procedimientos. Las dos primeras materias han estudiado las inferencias como parte integrante del proceso del pensamiento, lo que justifica que hayan sido definidas como actividades, operaciones o microprocesos, que intervienen en el mencionado proceso.  Por su parte la Didáctica le ha prestado mayor interés al carácter instrumental que adquieren las inferencias en el proceso de aprendizaje, al devenir el pensamiento en condición esencial en todo acto de aprendizaje. 

En las anteriores ideas puede apreciarse que esos criterios no resultan contradictorios, pues las inferencias a la vez que constituyen operaciones del pensamiento, constituyen un proceso en sí que abarca la integración, el resumen y la elaboración. Para que tengan lugar los microprocesos que integran a las inferencias  es necesario ejecutar actividades en correspondencia con ellos, las cuales  devienen en actividades inferenciales y poseen a su vez las acciones y operaciones que conforman el procedimiento inferencial.

A pesar de la considerable diversidad de definiciones existentes sobre las inferencias, se destaca como elemento común en ellas  el valor que poseen para elaborar nuevos conocimientos a partir de los que ya se poseen; pues su dinamismo se caracteriza por la distinción que se hace de los componentes estructurales y funcionales siguientes:
Conocimiento inicial (actúan como premisas).

Conocimiento fundamentador (es la regla del razonamiento que se hace).

Conocimiento inferido (es la consecuencia o conclusión extraída).

Las ideas expuestas en el párrafo anterior pueden corroborarse al analizar el siguiente planteamiento de Rubinstein: “(…) las cosas son infinitas y los fenómenos del mundo se encuentran en recíproca concatenación, en virtud de lo cual algo no dado explícitamente resulta dado implícitamente. Como quiera que los lazos y las influencias recíprocas de propiedades y relaciones son infinitas, de unos se pasa a los otros en una sucesión que tampoco tiene fin.” (22). Ello explica que el proceso de comprensión de problemas matemáticos devenga en una semiosis ilimitada, aunque el sujeto le pone fin al  encontrar la respuesta que satisface la exigencia del ejercicio.
Las inferencias pueden ser clasificadas en correspondencia con diferentes criterios:

a) Por el volumen de información del contenido del texto: las inferencias pueden ser globales o locales. Las inferencias de significados globales del texto pueden ser mensajes, intencionalidades, temas, o la deducción de un significado. Las inferencias locales pueden orientarse a detalles, a determinados componentes del texto o la característica implícita de un personaje.

b) Por su relación con el sistema de conocimientos del texto pueden ser:

Inferencias de propiedades, cualidades, partes, características, rasgos, dimensiones de determinado objeto de estudio que refiere el texto. A través de estas inferencias se consigue captar conocimientos empírico-sensoriales que permiten asimilar cómo es el mundo.

Inferencias de conceptos, relaciones, leyes que contiene el texto. Mediante estas inferencias se obtiene una explicación del texto, son conocimientos de carácter teórico, que permiten llegar a esencias.

Inferencias de reglas, técnicas, procedimientos constructivos, estrategias textuales para trasmitir el contenido. Mediante estas inferencias se llega a comprender cómo se organiza un texto.

c) Desde el punto de vista lógico las inferencias pueden ser:

Predictivas: Se extraen conclusiones anticipatorias respecto a una situación  dada. Explicativas: Cuando se dirigen a la búsqueda de las causas de la información, o sea, a su  explicación.

Deductivas: Al deducir conclusiones de un menor grado de generalidad que las premisas.

Inductivas: Se elaboran conclusiones de un grado de generalidad mayor que las premisas.

Considerando que es de interés la comprensión de problemas aritméticos, textos en los que se pone de manifiesto que el proceso inferencial es la esencia de la comprensión lectora, es necesario abordar sobre los  procedimientos que pueden ser empleados en dicha actividad con mayor frecuencia y mejores resultados. Para favorecer la elaboración de inferencias en la comprensión de problemas matemáticos se proponen los procedimientos siguientes:

Planteamiento de predicciones: las predicciones permiten darle un carácter activo y reflexivo al aprendizaje, pues lo que se predice se hace a partir de los conocimientos previos y se confirma o se corrige una vez que se avanza en el proceso lector. El mismo consiste en:

• Analizar los conceptos, símbolos u otros aspectos que se presenten.

•Establecer relaciones entre los elementos analizados y los contenidos matemáticos aprendidos.

•Elaborar predicciones acerca del problema que se le presentará.

•Contrastar las características del texto con la predicción elaborada.

Lectura del texto: los escolares deberán leer el problema de forma murmurada o en silencio, según el grado. Se recomienda en los primeros grados la lectura selectiva, es decir por partes lógicas, primero la narración, la que contiene generalmente los datos y condiciones y después la exigencia, la que contiene lo que se exige al resolutor; pues esto permite centrar la atención en la información literal de las diferentes partes del texto. Una vez que se haya desarrollado suficientemente la habilidad se puede aplicar la lectura integral (total) como procedimiento. Integra las operaciones que a continuación se muestran:

• Realizar una lectura  

• Efectuar la lectura selectiva del problema (por partes lógicas).

• Identificar los datos y exigencias del problema.

Formulación de preguntas: las preguntas que se realicen deben estar en correspondencia con el desarrollo alcanzado por los escolares y tener un carácter sistémico en correspondencia con los niveles de desempeño cognitivo.  Para la aplicación efectiva  de dicho procedimiento debe tenerse en cuenta la función que tiene la pregunta. Por ejemplo: a) activar conocimientos previos, b)problematizar el contenido textual, c) evaluar la comprensión realizada, d) entre otras. Abarca las operaciones siguientes:
• Determinar la función(es) de las preguntas.

• Clasificar las preguntas por niveles de comprensión.

• Seleccionar los formatos de preguntas a emplear.

• Diseñar las preguntas.

Activación de los conocimientos previos: Para activar los esquemas previos del lector se debe hacer un análisis previo del texto para identificar cuáles son los conocimientos que necesita el alumno para comprender el texto y cuáles no domina suficientemente para activarlos nuevamente. Se pueden retomar conceptos, procedimientos, propiedades, entre otros aspectos. Consiste en:

• Determinar el objetivo de la lectura.

• Seleccionar los elementos del conocimiento a activar.

• Diseñar las acciones didácticas.

Elaboración de esquemas: La realización de gráficos como estrategias de organización del material de estudio permite inferir significados, luego de la organización de las ideas principales del texto. Exige el cumplimiento de las operaciones que a continuación se muestran:

• Determinar el tipo de esquema a construir.

• Confeccionar el esquema.

• Confrontar el esquema con el contenido del problema.

1. Antes de leer	I. Activación de los conocimientos previos. 1. El maestro realiza la siguiente pregunta: ¿Qué relación existe entre las unidades peso y centavo? 2. El maestro orienta plantear una igualdad de sustracción y II. Planteamiento de predicciones 3. El maestro realiza la pregunta siguiente: ¿De qué puede tratar un problema en el que estén presente las unidades monetarias mencionadas?	1. Los escolares responden: -  Un peso es igual a cien centavos. 2. Los escolares plantean una igualdad de sustracción y nombran sus términos. 3. Los escolares se refieren a distintas situaciones en las que se empleen unidades monetarias.
2.Durante la  lectura	III. Lectura del texto. 4. Presentar el texto. Juan tenía  $ 20 y compró varios artículos por $8,57. Si todavía tiene $ 5,50 más que su hermana. ¿Cuánto tiene la hermana? 4.1 Lean la parte del texto donde se narra la situación (tres primeras oraciones). IV. Formulación de preguntas. 5. El maestro(a) realiza preguntas de carácter local y global, que le permitan a los escolares captar la información necesaria para elaborar inferencias. Son las siguientes: 5.1 ¿Quiénes son los personajes del texto? 5.2 ¿Qué cantidad de dinero tenía Juan? 5.3 ¿Qué cantidad de dinero gastó? ¿Cuánto tendrá? V. Elaboración de gráficos. 6. ¿Qué relación de parte – todo se da entre la cantidad de dinero que tenía Juan,  la que gastó y la que tiene ahora? Representa en un gráfico esa información. 6.1 ¿Qué cantidad de dinero tiene la hermana de Juan menos que él? 6.2 Representa en un gráfico la cantidad de dinero que tiene Juan y en lo que excede a la cantidad de dinero que posee su hermana. 6. 3 ¿Qué relación de parte – todo se pone de manifiesto? 7. Calculen.	4.1 Los escolares leen. 5. Los escolares responden lo siguiente: 5.1 Los personajes del texto son Juan y su hermana. 5.2 Juan tenía veinte pesos. 5.3 Gastó 8 pesos y 57 centavos. No se sabe cuánto tiene. 6. Lo que tenía representa el todo. Lo que gastó y lo que le queda representa las partes. 6.1 Su hermana tiene 5 pesos con cincuenta centavos menos que él. 6.3 El dinero que tiene Juan representa el todo y se conoce en cuánto excede al dinero que tiene su hermana. Por tanto hay que sustraer. 7. Los escolares realizan el cálculo siguiente: $11,43 - $5 ,50 = $5,93
3. Después de leer	8. - ¿Te permite lo realizado satisfacer la exigencia del problema? Elabora la respuesta del problema. 9. Resuélvelo por otra vía.	8. Lo realizado permite satisfacer la exigencia, pues se pudo hallar el dinero que tiene la hermana de Juan. 9. Para comprobar los escolares pueden resolver el problema mediante la vía algebraica, luego comparan los resultados y arriban a conclusiones. $8,57 + $5 ,50 + x = $20 $14,07+ x = $20  x = $20 -  $14,07 x = $5,93

Conclusiones

- La comprensión de problemas aritméticos implica la elaboración de inferencias, ya que los mismos se caracterizan por contener de forma implícita las relaciones que posibilitan hallar la vía de solución.

- El empleo de los procedimientos que se proponen para la elaboración de inferencias en la comprensión de problemas matemáticos favorece el carácter desarrollador del proceso de enseñanza  - aprendizaje,  pues además de posibilitar a los maestros su dirección; una vez dominadas sus instrumentaciones por los escolares, devienen en estrategias de aprendizaje.

- El empleo de los procedimientos que se proponen tiene un carácter flexible, pues depende del nivel de desarrollo cognoscitivo alcanzado por los escolares en la comprensión de problemas aritméticos, así como de la complejidad del problema objeto de comprensión.

 

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